关于均聚物模型的临界行为

取 $P^0$ 为由 ${\bf{Z^d}}$ 上从原点出发、跳跃率为 $2d$ 的简单对称最近邻连续时间随机游走诱导的测度，对 $\beta\ge 0,\,t>0$，定义 Gibbs 概率测度 $P_{\beta,t}$，其关于 $P^0$ 的密度由下式给出：\begin{eqnarray} \frac{dP_{\beta,t}}{dP^0}=Z_{\beta,t}(0)^{-1}e^{\beta \int_0^t\delta_0(x_s)ds} \end{eqnarray} 其中 $Z_{\beta,t}(0)\equiv E^0[e^{\beta \int_0^t\delta_0(x_s)ds}]$。该 Gibbs 概率测度为在原点具有吸引势的均聚物提供了一个简单模型。在先前的论文 \cite{CM07} 中，我们证明了对于维度 $d\ge3$，这些路径的行为存在相变：当 $\beta$ 低于某个临界参数时表现为扩散行为，当 $\beta$ 高于该临界值时表现为正常返行为。这对应于聚合物从扩散或伸展相到球状相的转变。该临界值通过算子 $\Delta+\beta\delta_0$ 的谱性质确定，其中 $\Delta$ 是 ${\bf{Z^d}}$ 上的离散 Laplace 算子。在本文中，我们描述了发生相变时聚合物在临界值处的行为。临界参数处的行为在某种意义上介于两相之间，且依赖于维度。