论同构与双向可嵌入性关系的复杂度

给定一个 $L_{\omega_1 \omega}$-初等类 $C$，即某个 $L_{\omega_1 \omega}$-句子的可数模型的集合，记 $\cong_C$ 和 $\equiv_C$ 分别为 $C$ 上的同构与双向可嵌入性这两个解析等价关系。推广 Louveau 和 Rosendal [LR05] 的一些问题，[FMR09] 中提出了如下问题：确定哪些解析等价关系对 $(E,F)$ 可以（在 Borel 归约互逆意义下）实现为 $(\cong_C, \equiv_C)$ 的形式，其中 $C$ 为某个 $L_{\omega_1 \omega}$-初等类（并给出了某些特定情形下的部分解答）。本文将给出该问题的近乎完整的解答：在对 $E$ 和 $F$ 施加非常温和的条件下，总能找到这样的 $L_{\omega_1 \omega}$-初等类 $C$。