关于积分微分集的完全刻画

设 $B_\theta$ 为平面 $R^2$ 中斜率为 $\theta$ 且与横轴成该倾角的矩形族。若存在一个函数 $f\in L(R^2)$，使得当 $\theta\not\in\Theta$ 时基 $B_\theta$ 可微分化 $f$ 的积分，且当 $\theta\in\Theta$ 时几乎处处有 $\bar D_\theta f(x)=\infty$，则称斜率集 $\Theta$ 为 $D$-集。若条件 $\bar D_\theta f(x)=\infty$ 在一正测度集上（而非几乎处处）成立，则称其为 $WD$-集。本文证明了 $\Theta$ 是 $D$-集（相应地 $WD$-集）当且仅当它是 $G_\delta$（$G_{\delta\sigma}$）集。