四分之一方形中最后通过渗流的组合学及$\mathrm{GOE}^2$涨落

在本注记中，我们给出Baik--Rains一个旧结论的（另一种）组合证明：对于适当考虑的独立几何权重，$2n \times n \times n$四分之一方形（点至半直线反射几何）中最后通过渗流聚合体的生成级数可拆分为两个更简单的生成级数之积——即点至线几何中最后通过渗流的生成级数，以及点至点反射（半空间）几何中最后通过渗流的生成级数，后者均在$n \times n \times n$三角形中。作为推论，对于独立同分布的几何随机变量——非对角参数为$q$、对角参数为$\sqrt{q}$——我们看到所述四分之一方形中的最后通过渗流时间在大$n$极限下服从Tracy--Widom $\mathrm{GOE}^2$涨落，因为点至线与点至点反射几何均已知具有GOE涨落。这是著名Baik--Rains定理（极限$q \to 0$）以及更近期Bisi博士论文结果（极限$q \to 1$）的离散类比。