关于幺半群代数的原子性

设 $M$ 为交换可消幺半群，$R$ 为整环。关于幺半群环 $R[x;M]$ 在 $M$ 和 $R$ 均为原子的前提下是否具有原子性的问题可追溯至 20 世纪 80 年代。1993 年，Roitman 对 $M = \mathbb{N}_0$ 的情形给出了否定回答：他构造了一个原子整环 $R$，使得多项式环 $R[x]$ 不是原子的。然而，关于域 $F$ 上的幺半群代数 $F[x;M]$ 在 $M$ 为原子的前提下是否具有原子性的问题自那时起一直悬而未决。本文对此问题给出否定回答。首先，对于任意无穷基数 $\kappa$，我们找到一个秩为 $\kappa$ 的无挠原子幺半群 $M$，满足对于任何整环 $R$，幺半群域 $R[x;M]$ 都不是原子的。然后，对于每个 $n \ge 2$ 以及每个有限特征的域 $F$，我们展示一个秩为 $n$ 的无挠原子幺半群，使得 $F[x;M]$ 不是原子的。最后，我们构造一个秩为 $1$ 的无挠原子幺半群 $M$，使得 $\mathbb{Z}_2[x;M]$ 不是原子的。