论原子性在幺半群代数上的提升

一个交换消去幺半群若每个不可逆元都可分解为不可约元（亦称原子）之积，则称其为原子的；而一个整环若其乘法幺半群是原子的，则称其为原子的。早在八十年代，Gilmer 提出如下问题：若无挠幺半群 $M$ 与整环 $R$ 均为原子的，是否意味着 $M$ 在 $R$ 上的幺半群代数 $R[M]$ 也是原子的。一般而言这不成立，Roitman 于 1993 年给出了该问题的首个否定回答：他构造了一个原子整环，其多项式扩张不是原子的。近来，Coykendall 与第一作者构造了有限秩无挠原子幺半群，其在某些有限域上的幺半群代数不是原子的。尽管如此，有限秩无挠幺半群的原子性向其在特征零域上相应幺半群代数的提升仍是一个开放问题。Coykendall 与第一作者还构造了一个无限秩无挠原子幺半群，其幺半群代数（在任意整环上）不是原子的。作为本文的主要结果，我们构造了一个秩一无挠原子幺半群，其幺半群代数（在任意整环上）不是原子的。为此，我们在秩一无挠幺半群类中引入并研究了一种称为提升的方法论构造，其将给定幺半群嵌入到另一个从算术角度看往往更易处理的幺半群中。例如，提升构造中的嵌入保持主理想升链条件以及极大公因子的存在性。