关于各向异性弹性下动态各向同性-向列相变的渐近极限

在本文中，我们考虑由液晶的 Landau-de Gennes 动力学控制的、具有各向异性弹性的各向同性-向列相变。对于 $-\frac{3}{2}< L<0$，我们严格证明了从 Landau-de Gennes 流到一个以两相流为特征的尖锐界面系统的极限：界面通过平均曲率运动演化；在各向同性区域，$Q=0$；在向列相区域，$Q=s_+(nn-\frac{1}{3}I)$，其中 $n\in \mathbb{S}^2$ 且 $s_+>0$，取向矢量场 $n$ 满足 $$(2s_+^2\partial_t n+h)\times n=0$$ 且 $h=-\frac{\delta E(n,\nabla n)}{\delta n}$，其中 $E(n,\nabla n)$ 表示 Oseen-Frank 能量；在界面上，满足强锚定条件 $n=\nu$。这一结果严格验证了 de Gennes [Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1971] 关于动力学设置中各向同性-向列界面表面张力强度的论断。此外，我们使用匹配渐近展开方法严格证明了这一极限。首先，我们采用 Fei-Lin-Wang-Zhang [Invent.math. 2023] 发展的“准极小连接轨道”思想，构造了任意阶的近似解。其次，我们推导了近似解附近线性化算子的均匀谱下界。为此，我们引入合适的基分解和坐标变换，将问题简化为两个标量一维线性算子的谱分析以及一些奇异乘积估计。为了克服各向异性弹性和强锚定边界条件带来的困难，我们引入了散度-旋度分解，并在估计交叉项时，将其与各向异性弹性项结合以闭合能量估计。