关于 {\L}ukasiewicz 路径上的面积-深度对称性

为了进一步理解 $q,t$-Catalan 统计量，Pappe、Paul 和 Schilling (2022) 提出了 Dyck 路径上的一个称为 $\mathtt{depth}$ 的新统计量，并证明其与众所周知的 $\mathtt{area}$ 统计量联合等分布。在最近的一篇预印本中，Qu 和 Zhang (2025) 将 $\mathtt{depth}$ 推广到所谓的“$\vec{k}$-Dyck 路径”。他们证明了在具有固定上步多重集和给定第一步上步的此类路径上，$\mathtt{area}$ 和 $\mathtt{depth}$ 也是联合等分布的，并猜想当同时固定最后一步上步时同样成立。在这篇短文中，我们通过在 {\L}ukasiewicz 路径与平面树之间的经典双射下解释 $\mathtt{area}$ 和 $\mathtt{depth}$，在 {\L}ukasiewicz 路径的更一般背景下解决了这一猜想，通过该双射对称性变得显而易见。