$\vec{k}$-Dyck 路径的 Dinv、Area 与 Bounce

著名的 $q,t$-Catalan 序列具有作为普通 Dyck 路径加权和的两种组合解释：一是 Haglund 的 area-bounce 公式，二是 Haiman 的 dinv-area 公式。zeta 映射被构造用以联系这两个公式：它是普通 Dyck 路径到自身的一个双射，并将 dinv 映到 area，将 area 映到 bounce。Loehr 将这一结果推广到 $k$-Dyck 路径。Armstrong-Loehr-Warrington 将 zeta 映射推广到一类非常一般的路径。本文中，我们推广 $\vec{k}$-Dyck 路径的 dinv-area-bounce 结果：i) 给出 $\vec{k}$-Dyck 路径 bounce 统计量的几何构造，其包含 $k$-Dyck 路径与普通 Dyck 路径作为特例；ii) 给出 $\vec{k}$-Dyck 路径 dinv 统计量的几何解释。我们的 bounce 构造受 Loehr 的构造以及 Xin-Zhang 关于 $\vec{k}$-Dyck 路径上逆 sweep 映射的线性算法启发。我们的 dinv 解释受 Garsia-Xin 关于有理 Dyck 路径上 dinv-to-area 结果的视觉证明启发。