源于 Shuffle 猜想两部分情形的新 'dinv'

在近期的一篇论文中，J. Haglund 证明了某个对称函数表达式通过 $t^{area} q^{dinv}$ 对如下停车函数进行计数：这些停车函数的对角字处于 $12...j$ 和 $j+1...j+n$ 的洗牌之中，且 $j+1,...,j+n$ 中的 $k$ 辆车位于主对角线上，其中包含位于单元格 $(1,1)$ 中的车 $j+n$。鉴于 Haglund-Morse-Zabrocki 的一些近期猜想，自然可以猜想：将 $E_{n,k}$ 替换为修正的 Hall-Littlewood 函数将产生一个多项式，该多项式对相同的停车函数集合进行计数，但现在限制为要求支撑车 $j+1,...,j+n$ 的 Dyck 路根据合成 $p=(p_1,p_2,...,p_k)$ 击中对角线。我们在此通过推导该对称函数表达式的递推关系证明了这一猜想，随后利用该递推关系构造了一个我们记为 ndinv 的新 dinv 统计量，并证明该多项式通过 $t^{area} q^{ndinv}$ 对后述停车函数进行计数。