关于指数函数部分和对应的绝对稳定性区域

某些用于初值问题的数值方法以指数函数的 $n$ 阶部分和作为其稳定性函数。我们研究了稳定性区域，即复平面上 $n$ 阶部分和的模至多为 1 的集合。已知稳定性区域在左半平面部分的渐近形状是一个半圆盘。我们通过提供包围或被稳定性区域（或其左半平面部分）包围的圆盘来量化这一性质。确定了包含稳定性区域（或其左半平面部分）的、以原点为中心的最小圆盘半径（针对 $1\le n\le 20$）。证明了针对 $n\ge 2$ 的此类半径的界限；这些界限在 $n\to +\infty$ 极限下被证明是最优的。我们证明了当 $n\to\infty$ 时，限制在虚轴上的稳定性区域及其补集由长度趋于 $\pi$ 的交替区间组成。最后，我们证明了以虚轴为垂直边界且以原点为中心的左半平面半圆盘包含在稳定性区域内，当且仅当 $n\equiv 0 \mod 4$ 或 $n\equiv 3\mod 4$。针对 $1\le n\le 20$ 精确确定了此类半圆盘的最大半径。