关于局部残余流的阿贝尔-拉东变换

首先我们回顾局部残余流的定义及其基本性质。在本节中，我们证明了一个迹定理，将在后续使用。然后，对于入射簇 $I\subset T\times X$ 的一族 $p$-循环，其中 $p_1:I\to T$ 是真映射且 $p_2:I\to X$ 是淹没映射，以及一个区域 $U\subset T$，我们在射影簇 $X\subset \P^N$ 上定义了流 ${\cal R}(\alpha)$ 的阿贝尔-拉东变换。随后我们证明以下定理，针对用 $r$-平面截 $X$ 的一族截面（该定理对于 $X=\P^N$ 的直线族由作者在 $p=1$、${\cal R}(\alpha)=0$ 且 $p$-平面对于任意 $q>0$ 的情形下证明，并由 Henkin 和 Passare 对于 $\P^N$ 中的 $p$-平面和积分流 $\alpha=\omega\wedge[Y]$（其中 $\omega$ 为亚纯 $q$-形式）且在 $\tilde U$ 上具有射影凸性的情形下证明）：设 $\alpha$ 是 $U^*$ 上的双次数 $(q+p,p)$ 的局部残余流，其中 $U^*:=\cup_{t\in U}{H_t}\subset X$，且 ${t}\times H_t:=p_1^{-1}(t)$。则 ${\cal R}(\alpha)$ 是 $U$ 上的亚纯 $q$-形式，当且仅当 $\alpha$ 是 $\bar{\partial}-$闭的时全纯。假设 $\alpha$ 是 $\bar\partial-$闭的，且 $q>0$。如果 ${\cal R}(\alpha)$ 亚纯地（或全纯地）延拓到更大的区域 $\tilde U$，则 $\alpha$ 唯一地延拓为更大区域 ${\tilde U}^*\subset X$ 上的局部残余流（或 $\bar\partial-$闭流）。