k-阈值函数的教学集

设 $f$ 是定义在整数 $d$ 维立方体 $\{0,1,\dots,n-1\}^d$ 上取 $\{0,1\}$ 值的函数，其中 $n \geq 2$ 且 $d \geq 1$。若存在超平面将取 $0$ 值的点与取 $1$ 值的点分离，则称函数 $f$ 为阈值函数。设 $C$ 为一个函数类且 $f \in C$。若存在函数 $g \in C$ 使得 $x$ 是 $f$ 与 $g$ 唯一不同的点，则点 $x$ 关于 $C$ 对函数 $f$ 是本质的。若 $C \setminus \{f\}$ 中不存在函数在 $X$ 上与 $f$ 一致，则称点集 $X$ 关于 $C$ 对于函数 $f$ 是教学的。已知任意阈值函数都有唯一的最小教学集，且与其本质点集重合。本文研究 $k$-阈值函数（即可以表示为 $k$ 个阈值函数合取的函数）的教学集。我们揭示了 $k$ 个阈值函数的本质点与该相应的 $k$-阈值函数的本质点之间的联系。我们注意到，一般而言，$k$-阈值函数不能由其本质点确定，且可以有不止一个最小教学集。我们证明当 $d=2$ 时，2-阈值函数的最小教学集个数可增长为 $\Omega(n^2)$。我们还考虑了顶点位于 $d$ 维立方体中的多面体类。该类中的每个多面体可由某个 $k$ 的 $k$-阈值函数定义。就 $k$-阈值函数而言，我们证明顶点在 $d$ 维立方体中的多面体具有唯一的最小教学集，且等于其本质点集。对于 $d=2$，我们描述了多面体的最小教学集的结构，并证明该集合的基数或为 $\Theta(n^2)$ 或为 $O(n)$，且取决于多面体的周长与最小角。