关于域中的和与积

本文研究域中的和与积。设F为域且${\rm ch}(F)\not=2$，其中${\rm ch}(F)$为F的特征。对任意整数$k\ge4$，我们证明若${\rm ch}(F)\not=3$，则每个$x\in F$可写为$a_1+\ldots+a_k$，其中$a_1,\ldots,a_k\in F$且$a_1\ldots a_k=1$；并且对任意$\alpha\in F\setminus\{0\}$，我们可将每个$x\in F$写为$a_1\ldots a_k$，其中$a_1,\ldots,a_k\in F$且$a_1+\ldots+a_k=\alpha$。我们还证明对任意$x\in F$与$k\in\{2,3,\ldots\}$，存在$a_1,\ldots,a_{2k}\in F$使得$a_1+\ldots+a_{2k}=x=a_1\ldots a_{2k}$。