关于正整数的和相交族

我们研究以下关于相交族的自然算术问题：来自 $\{1, \ldots n\}$ 的整数子集族最大能有多大，使得对于族中每一对子集，其交集中包含一个和 $x + y = z$？我们猜想任何这样的和相交族的大小至多为 $\frac14 \cdot 2^{n}$（若正确则为紧的）。针对该猜想，我们证明每个和相交族至多含有 $0.32 \cdot 2^n$ 个子集。