关于Perron数的一些性质

设$\theta$为实数，$n\in\mathbb N$，且$D_n(\theta)=\left\{\sum_{k=1}^n a_k\theta^{k}\mid a_k\in\{0,\dots,\lfloor \theta\rfloor\}\right\}.$设$\theta$为Perron数，即一个大于1的代数整数，其其余Galois共轭的绝对值均小于$\theta$。我将证明两个结果：(1) $\theta^n\ll\#D_n(\theta)\ll\sqrt n \theta^n.$ (2) $\theta$的高度不超过$\lfloor\theta\rfloor$。