关于秩二自由群自同构的几个问题

设 $F_n$ 为秩 $n$ 的自由群。本文讨论与 $F_2$ 的自同构相关的三个算法问题。若 $F_n$ 中的字 $u$ 不含负指数，则称 $u$ 为正字。若存在 $F_n$ 的某个自同构 $\phi$ 使得 $\phi(u)$ 为正字，则称 $F_n$ 中的字 $u$ 为潜在正字。我们证明存在一个算法来判定 $F_2$ 中的给定字是否为潜在正字，从而对 [1] 中的问题 F34a 在 $F_2$ 的情形下给出了肯定回答。若对 $F_n$ 的每个自同构 $\phi$，$\phi(u)$ 与 $\phi(v)$ 的循环长度之比均有远离 0 和 $\infty$ 的界，则称 $F_n$ 中的两个元素 $u$ 和 $v$ 为有界平移等价。我们提供了一个算法来判定 $F_2$ 中给定的两个元素是否为有界平移等价，从而回答了 [1] 在线版本中关于 $F_2$ 的情形的问题 F38c。我们进一步证明存在一个算法来判定 $F_2$ 中的给定有限生成子群是否为 $F_2$ 的某个自同构的不动点子群，从而对 [1] 中的问题 F1b 在 $F_2$ 的情形下给出了肯定回答。