关于乘积受限制的整数集

图$G$的乘积单射标号是一个单射$\chi: V(G) \to \mathbb{Z}$，使得对于任意不同的边$uv, xy\in E(G)$，有$\chi(u)\chi(v) \not= \chi(x)\chi(y)$。设$P(G)$是最小的$N \geq 1$，使得存在一个乘积单射标号$\chi : V(G) \rightarrow [N]$。设$P(n,d)$是所有最大度至多为$d$的$n$顶点图$G$上$P(G)$的最大可能值。在本文中，我们确定了$P(n,d)$在$d$相对于$n$的所有除了一个小范围之外的渐近值。具体地，我们证明存在常数$a,b > 0$使得当$d \leq \sqrt{n}(\log n)^{-a}$时$P(n,d) \sim n$，当$d \geq \sqrt{n}(\log n)^{b}$时$P(n,d) \sim n\log n$。