关于混合时间与截断现象的敏感性

若对所有 $0<\epsilon< 1/2$，比值 $t_{\mathrm{mix}}^{(n)}(\epsilon)/t_{\mathrm{mix}}^{(n)}(1-\epsilon)$ 当 $n \to \infty$ 时趋于 1（相应地，该比值的上极限对 $\epsilon$ 一致有界），则称一列马氏链呈现（全变差）截断（相应地，预截断），其中 $t_{\mathrm{mix}}^{(n)}(\epsilon)$ 是该列中第 $n$ 条链的 $\epsilon$-全变差混合时间。我们构造了一列有界度图 $G_n$，使得 $G_n$ 上的惰性简单随机游走 (LSRW) 满足“乘积条件” $\mathrm{gap}(G_n) t_{\mathrm{mix}}^{(n)}(\epsilon) \to \infty$（当 $n \to \infty$），其中 $\mathrm{gap}(G_n)$ 是 $G_n$ 上 LSRW 的谱隙（这是预截断的一个已知必要条件，且常常是截断的充分条件），但该序列却不呈现预截断。最近，Chen 和 Saloff-Coste 证明了，对于给定马氏链序列的连续时间版本和惰性版本，全变差截断是等价的。令人惊讶的是，我们证明了当考虑分离截断时，这一结论并不成立。我们还构造了一列不呈现截断的有界度图 $G_n=(V_{n},E_{n})$，对其边权重进行某种有界扰动后会导致截断，并以 $\Theta (\log |V_n|)$ 的最优因子增加了混合时间的阶。类似地，我们也证明了将状态“合并”可能以 $\Theta (\log |V_n|)$ 的最优因子增加混合时间的阶。这否定了 Aldous 和 Fill 提出的一个问题。