关于球面上编码与设计的极化

本文研究 $\mathbb{R}^n$ 中一大类势函数在球面上的 $N$ 点极小-极大与极大-极小极化问题。我们导出固定维数、强度与基数的球设计的极化普适下界与上界。该界之普适在于其为势函数取值的凸组合，其节点与权重独立于势函数类。作为下界的结果，我们得到球设计覆盖半径的 Fazekas-Levenshtein 界。利用球设计的存在性，我们的极化界被推广至一般构型。作为例子，我们完全求解 $\mathbb{S}^3$ 上 120 点的极小-极大极化问题，并证明 600-胞对该问题普遍最优。我们还提供当点数 $N$ 不超过维数 $n$ 以及 $N=n+1$ 时求解极大-极小极化问题的替代方法。我们进一步证明交叉多胞体在 $N=2n$ 点的所有球面 2-设计中具有最佳极大-极小极化常数，对 $n=2,3,4$ 成立；对 $n\geq 5$，此结论依赖于一个著名猜想，即交叉多胞体具有最佳覆盖半径。该极大-极小最优性也对所有所谓中心编码成立。