基于狄拉克矩阵的线性 GL(4,C) 与幺正 SU(4) 群参数化

研究了复线性群 $GL(4,C)$ 的 $4\times 4$ 矩阵 $G$ 关于四个复 4 矢量参数 $(k,m,n,l)$ 的参数化问题。明确给出了分离 $GL(4,C)$ 某些子群的附加限制。在给定参数化下，求解了任意 $4\times 4$ 矩阵 $G$ 的逆矩阵问题。导出了任意矩阵 $G$ 行列式的表达式：$\det G = F(k,m,n,l)$。幺正性条件 $G^{+} = G^{-1}$ 已被表述为包含复共轭的非线性三次代数方程形式。找到了这些幺正方程的几个最简单解：三个 2 参数子群 $G_{1}$、$G_{2}$、$G_{3}$——每个子群由两个对易的阿贝尔幺正群组成；一个 4 参数幺正子群，由一个同构于 SU(2) 的 3 参数群和一个 1 参数阿贝尔群的乘积组成。文献中用于 SU(4) 群的基底 $\lambda_{i}$ 与 Gell-Mann 类型的狄拉克生成元基底 $\Lambda_{k}$ 有显著差异，找到了联系它们的公式——它们允许在 SU(4) 中分离出 SU(3) 子群。列举 $GL(4,C)$ 的 15 个狄拉克生成元的一种特殊方式 $\{\Lambda_k\} = \{\alpha_i\oplus\beta_j\oplus(\alpha_iV\beta_j = {\boldsymbol K} \oplus {\boldsymbol L}\oplus{\boldsymbol M})\}$ 可用于根据 S = e^{i\vec{a}\vec{\alpha}} e^{i\vec{b}\vec\beta}} e^{i{\boldsymbol k}{\boldsymbol K}} e^{i{\boldsymbol l}{\boldsymbol L}} e^{i\boldsymbol m}{\boldsymbol M}} 对 SU(4) 变换进行因子分解，其中前两个因子彼此对易且同构于 SU(2) 群，后三个是 3 参数群，每个群由三个对易的阿贝尔幺正子群组成。