拓扑不变量的 $p$-进极限

本文旨在定义并研究拓扑空间的新不变量：$p$-进 Betti 数和 $p$-进 torsion。这些不变量取值于 $p$-进数，并由基本群的虚 pro-$p$ 完备化构造而来。文章的关键结果是一个逼近定理，表明 $p$-进不变量是其经典类似物的极限。这让人联想到 Lück 关于 $L^2$-Betti 数的逼近定理。在考察基本性质与例子后，我们讨论 Atiyah 猜想的 $p$-进类比：何时 $p$-进 Betti 数取整数值？我们建立了一类空间的该性质，并讨论其在上同调增长中的应用。