关于稀疏约束非线性优化中非退化 M-平稳点

我们从拓扑视角研究稀疏约束非线性优化（SCNO）。特别关注 Burdakov 等人（2016）提出的 M-平稳点。我们引入非退化 M-平稳点并定义其 M-指数。我们证明所有 M-平稳点一般都是非退化的。特别地，稀疏约束在一般 SCNO 的所有局部极小点处都是起作用的。详细讨论了与其他平稳性概念（如 S-平稳性、基本可行性和 CW-极小性）的一些关系。由此，突出了因不同平稳性概念导致的点的不稳定与退化问题。M-平稳性概念允许沿着 Morse 理论的思路充分描述 SCNO 的全局结构。为此，我们研究在越过 M-平稳点时下水平集的拓扑变化。作为 SCNO 中的新现象，需要附加多个维数等于 M-指数的胞腔。这一引人注目的事实与此前考虑的其他优化问题形成强烈对比，后者仅需一个胞腔即可。作为结果，我们导出了 SCNO 的 Morse 关系，该关系将局部极小点的数目与 M-指数等于一的 M-平稳点的数目联系起来。因此，从全局优化的视角不能忽视此类鞍点的出现。由于胞腔附加中的多重性现象，一个鞍点可能导致多于两个不同的局部极小点。我们得出结论：鞍点相对复杂的结构正是 SCNO 全局最优求解众所周知困难的根源。