有限二人紧向量博弈形式的 Nash 可解性

我们考虑有限二人标准式博弈。其博弈形式的以下四个性质等价：(i) Nash 可解性，(ii) 零和可逆性（zero-sum-solvability），(iii) 赢-输可解性（win-lose-solvability），以及 (iv) 紧性（tightness）。对于 (ii, iii, iv)，Edmonds 与 Fulkerson 于 1970 年给出证明。随后在 1975 年，(i) 被加入该列表，并证明这些结果不能推广到 $n>2$ 的 $n$ 人情形。1990 年，紧性被推广到向量博弈形式（$v$-形式），并证明此种 $v$-紧性与零和可逆性仍等价，但不蕴含 Nash 可解性。这些结果适用于若干类具有完美信息的随机博弈。本文给出紧性的又一推广，引入 $v^+$-紧向量博弈形式（$v^+$-形式）。我们证明在弱矩形博弈形式与正代价函数情形下，此种 $v^+$-紧性与 Nash 可解性等价。该结果使我们能将所谓的双最短路猜想归约为 $v^+$-形式的 $v^+$-紧性。然而，这两个（等价的）命题仍属开放问题。