解析半群生成元的$H^\infty$-演算无界性度量

我们通过估计映射 $H^{\infty}\rightarrow \mathcal{B}(X)$: $f\mapsto f(A)T(\varepsilon)$ （对于接近零的 $\varepsilon$）的界 $b(\varepsilon)$，来研究 $H^\infty$-演算的有界性。此处，$-A$ 生成解析半群 $T$，而 $H^{\infty}$ 是在严格包含 $A$ 的谱的域上的有界解析函数空间。我们证明一般情况下 $b(\varepsilon)=\mathcal{O}(|\log\varepsilon|)$，而对于有界演算则 $b(\varepsilon)=\mathcal{O}(1)$。这推广了 Vitse 的结果，并补充了 Haase 和 Rozendaal 关于非解析半群的工作。我们讨论了界的锐度，并证明单一平方函数估计给出 $b(\varepsilon)=\mathcal{O}(\sqrt{|\log\varepsilon|})$。