论二维理想流体的最大混合平衡态

二维理想（不可压缩且无黏性）流体的涡量由其保面积流动输运。给定初始涡量分布 $\omega_0$，预测其能够长期维持的长时间行为是一个具有根本重要性的问题。在无限时间极限下，$\omega_0$ 可能发生某种不可逆混合。由于动能 $\mathsf{E}$ 守恒，并非所有混合态都相关，自然只考虑能量为对应于 $\omega_0$ 的 $\mathsf{E}_0$ 的那些态。所述涡量场的集合，记为 $\overline{\mathcal{O}_{\omega_0}}^*\cap \{ {\mathsf E}= {\mathsf E}_0\}$，包含了流体运动所有可能的终态。A. Shnirelman 引入了最大混合态（任何进一步混合都必然改变其能量）的概念，并证明了它们是理想流体的平衡态。我们通过证明 $\overline{\mathcal{O}_{\omega_0}}^*\cap \{ {\mathsf E}= {\mathsf E}_0\}$ 中任何严格凸 Casimir 泛函的极小化元都是最大混合态，并讨论其与经典统计流体动力学理论的关系，为这一理论提供了一个新视角。因此，不能仅以涡量输运和动能守恒为由排除（弱）收敛到平衡态的可能性。另一方面，在具有对称性的区域（例如直通道或圆环）上，我们利用所有守恒量和 $\overline{\mathcal{O}_{\omega_0}}^*\cap \{ {\mathsf E}= {\mathsf E}_0\}$ 的刻画，给出了初始数据的开集示例，这些初始数据可以在涡量的 $L^1$ 范数下任意接近任何剪切流或径向流，但在长时间极限下并不弱收敛于它们。