论 Laporta 的 4-圈日出公式

我们证明 Laporta 的猜想\begin{align*}&\int_0^\infty\frac{\mathrm d\, x_1}{x_1}\int_0^\infty\frac{\mathrm d\, x_2}{x_2}\int_0^\infty\frac{\mathrm d\, x_3}{x_3}\int_0^\infty\frac{\mathrm d\, x_4}{x_4}\frac{1}{\left(1+\sum^4_{k=1}x_k\right)\left(1+\sum^4_{k=1}\frac{1}{x_{k}} \right)-1}\\={}&\frac43 \int_{0}^\pi\mathrm d\, \phi_1 \int_{0}^\pi\mathrm d\, \phi_2\int_{0}^\pi\mathrm d\, \phi_3 \int_{0}^\pi\mathrm d\, \phi_4\frac{1}{4-\sum_{k=1}^4\cos \phi_k}, \end{align*} 该猜想将二维量子场论中的 4-圈日出图与四维超立方晶格的 Watson 积分相联系。我们还建立了 Laporta 提出的若干相关积分恒等式，包括将 4-圈日出图化为 Euler gamma 函数与广义超几何级数的特殊值：\begin{align*} \frac{4 \pi ^{5/2}}{\sqrt{3}}\left\{ \frac{\sqrt{3} }{2^6 }\left[\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)}{\sqrt{\pi}}\right]^9\, _4F_3\left(\left. \begin{array}{c}\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{2}\\[4pt]\frac{2}{3},\frac{5}{6},\frac{5}{6}\end{array} \right|1\right)-\frac{2^{4}}{3}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)}\right]^9\, _4F_3\left(\left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{5}{6}\\[4pt]\frac{7}{6},\frac{7}{6},\frac{4}{3}\end{array} \right|1\right) \right\}. \end{align*}