基于半群轨道的 Landau–Kato 不等式

设 $\omega>0$。给定 Banach 空间上的强连续半群 $\{e^{tA}\}$ 以及满足指数轨道估计 $$\|e^{tA}f\|\leq e^{-\omega t}\|f\| \quad\text{and}\quad \|e^{tA}A^2f\|\leq e^{-\omega t}\|A^2f\|,\quad t\geq0,$$ 的元素 $f\in\mathbf{D}(A^2)$，Herzog 与 Kunstmann（Studia Math., 2014）推导了用 $\|f\|$ 与 $\|A^2f\|$ 表示 $\|Af\|$ 的一个动力学不等式。本文通过将对指数衰减放宽至二次衰减，改进了他们的结果，并给出一种简单直接的方式以恢复通常的 Landau 不等式。Herzog 与 Kunstmann 还提出了在 Hilbert 空间上经由半群轨道得到 Kato 型不等式类比的诉求。我们利用 Hayashi–Ozawa 工具 [Proc. Amer. Math. Soc., (2017)]（其又依赖于 Hilbert 几何）提供了这样一个结果。