平坦对称空间 $L^1$-$L^2$ 二分性

对于秩为 1 的平坦对称空间，连续轨道测度的卷积平方可绝对连续，除非为 Cartan 类型 AI。因此，这些空间的 $L^1$-$L^2$ 二分性在与紧凑和非紧凑秩 1 对称空间并列成立。我们还研究了秩为 $p=2,3$ 的平坦对称空间的 $L^1$-$L^2$ 二分性，这些空间属于 AIII 类型，即与 $SU(p,q)/S(U(p)\times U(q))$ 相关联，其中 $q\geq p$。对于由规则点给出的连续轨道测度，$L^1$-$L^2$ 二分性成立。我们研究由某些奇异点给出的测度，当 $p=2$ 时，显示 $L^1$-$L^2$ 二分性不成立。这是一个在任何秩为 2 的对称空间类型中观察到的首次结果。