Bessel 过程关于零点的联合返回问题

本文考察了 $n$ 个 Bessel 过程（$n\geq 2$）关于零点的联合返回问题：我们的主要目标是估计它们在持续一段时间后避免联合返回零的概率。更准确地说，考虑 $n$ 个独立的维数为 $\delta \in (0,1)$ 的 Bessel 过程 $(X_t^{(i)})_{1\leq i \leq n}$，我们关注其中任意两个的第一联合返回零：$$H_n := \inf\big\{ t>0, \exists 1\leq i <j \leq n \text{ 使得 } X_t^{(i)} = X_t^{(j)} =0 \big\} \,.$$ 我们证明存在一个持久性指数 $\theta_n$，使得 $\mathbb{P}(H_n>t) = t^{-\theta_n+o(1)}$ 当 $t\to\infty$ 时，并给出 $\theta_n$ 的一些非平凡界限。特别地，当 $n=3$ 时，我们证明 $2(1-\delta)\leq \theta_3 \leq 2 (1-\delta) + f(\delta)$，其中 $f(\delta)$ 为某个（显式的）函数，且 $\sup_{[0,1]} f(\delta) \approx 0.079$。