Sherali-Adams 层次中不对称 TSP 的整数性比率

我们研究了 ATSP（不对称旅行商问题），重点在于 Sherali-Adams (SA) 提升与投影方法框架下的负面结果。我们的主要结果涉及由 Dantzig、Fulkerson 和 Johnson 提出的 ATSP 标准 LP（线性规划）松弛。对于任意固定整数 $t\geq 0$ 和微小 $\epsilon$，$0<\epsilon\ll{1}$，存在一个拥有 $\nu=\nu(t,\epsilon)=O(t/\epsilon)$ 个顶点的有向图 $G$，使得从 $G$ 上的标准 LP 开始的 SA 系统第 $t$ 层的整数性比率 $\ge 1+\frac{1-\epsilon}{2t+3} \approx \frac43, \frac65, \frac87, \dots$。因此，就输入规模而言，该结果对任意 $t = 0,1,\dots,\Theta(\nu)$ 层均成立。我们的关键贡献是识别出有向图的一种结构性质，使我们能够从标准 LP 出发，为 SA 系统的任意第 $t$ 层构造分数可行解。我们的难例简单且满足该结构性质。标准 LP 还有一种称为平衡 LP 的进一步松弛，当 SA 系统的起始 LP 为平衡 LP 时，我们的方法大大简化；特别是，相关的有向图结构性质得以简化，以至于 Charikar、Goemans 和 Karloff (CGK) 著名的构造所给出的有向图也满足该性质。因此，CGK 有向图可作为难例，并且对于 SA 系统的任意第 $t$ 层，我们获得了 $1 +\frac{1-\epsilon}{t+1}$ 的整数性比率，其中 $0<\epsilon\ll{1}$ 且顶点数为 $\nu(t,\epsilon)=O((t/\epsilon)^{(t/\epsilon)})$。此外，我们对标准 LP 的结果也可扩展至 Path-ATSP（从给定源顶点到给定汇顶点寻找最小成本哈密顿有向路径）。