非对称度量中的多旅行商问题

我们考虑非对称旅行商路径问题的一些推广。假设我们有一个非对称度量 G = (V,A) 以及两个特殊节点 s,t。我们还给定一个正整数 k。目标是找到从 s 到 t 的 k 条总代价最小的路径，其并集覆盖所有节点。我们将此称为 k-人非对称旅行商路径问题 (k-ATSPP)。我们关于 k-ATSPP 的主要结果是一个双准则近似，对于我们可以选择的某个参数 b >= 1，它找到介于 k 和 k + k/b 之间的路径，其总长度为基于旅行商问题 Held-Karp 松弛的 LP 松弛最优值的 O(b log |V|) 倍。在一个极端，这是一个使用多达 2k 条路径的 O(log |V|)-近似；在另一个极端，这是一个恰好使用 k 条路径的 O(k log |V|)-近似。接下来，我们考虑有 k 对节点 (s_1,t_1), ..., (s_k,t_k) 的情形。目标是为每一对节点找到一条 s_i-t_i 路径，使得 G 的每个节点至少位于这些路径中的一条上。对于度量为对称的或每个 i 都有 s_i = t_i 的特殊情形，我们给出了简单的近似算法。我们还证明了当 k=2 时，该问题可以在 O(log n) 因子内被近似。另一方面，我们证明了除非 P = NP，否则一般问题无法在任何有界比率内被近似。