Lift & Project 系统在部分顶点覆盖多面体上的表现
数据结构与算法
2023-11-14 v3
摘要
我们研究了由 Sherali-Adams (SA)、Lovasz-Schrijver-SDP (LS+) 和 Sherali-Adams-SDP (SA+) 提升与投影 (L&P) 系统导出的强线性规划 (LP) 和半定规划 (SDP) 松弛在 t-部分顶点覆盖 (t-PVC) 问题上的积分间隙 (IG) 下界；t-PVC 是经典顶点覆盖问题的一个变体，其中仅需覆盖 t 条边。t-PVC 可通过多种算法技术实现 2-近似，这些技术均依赖于一种自然的 LP 松弛。从该 LP 松弛出发，我们的主要结果表明：对于任意 epsilon > 0，所有已知用于产生正面算法结果（Lasserre 层次除外）的 L&P 系统所导出的 Theta(n) 级 LP 或 SDP，其积分间隙至少为 (1-epsilon)n/t，其中 n 为输入图的顶点数。我们的下界几乎是紧的。结果表明，由许多 L&P 系统导出的受限但强大的计算模型无法见证 t-PVC 的任何常数 c 近似解（当 t = O(n) 时）。这是极少数已知的难解组合优化问题示例之一：基于 LP 的算法能诱导常数近似比，而同一 LP 的提升与投影 LP 及 SDP 强化却具有无界的积分间隙。我们还表明，在那些可由 LS 系统导出的 1 级 LP 松弛求解的实例上，为 t-PVC 提供最佳已知算法的 SDP 具有 n/t 的积分间隙。这构成了另一种罕见现象：即使在特定实例中，静态 LP 的表现也优于曾为该问题提供最佳近似保证的 SDP。最后，我们的主要贡献之一是明确了一种新的简单方法，用于构造 LP 松弛的解，这些解几乎平凡地满足所有已知对算法正面结果有用的 SDP L&P 系统（La 系统除外）所导出的约束。
引用
@article{arxiv.1409.6365,
title = {Lift & Project Systems Performing on the Partial-Vertex-Cover Polytope},
author = {Konstantinos Georgiou and Andy Jiang and Edward Lee and Astrid A. Olave and Ian Seong and Twesh Upadhyaya},
journal= {arXiv preprint arXiv:1409.6365},
year = {2023}
}
备注
26 pages