关于特征 p 中一类 p-群的 Hilbert 理想

设 $p$ 为素数，$\Bbbk$ 为特征 $p$ 的域，$G$ 为有限 $p$-群。设 $V$ 为 $G$ 在 $\Bbbk$ 上的有限维线性表示。记 $S = \mathrm{Sym} V^*$。对于一类我们称之为广义 Nakajima 群的 $p$-群，我们证明如下：\begin{enumerate} \item Hilbert 理想是完备交。作为推论，对广义 Nakajima 群的情形，我们证明了 Shank 和 Wehlau（由 Broer 重新表述）的一个猜想，该猜想断言若不变子环 $S^G$ 作为 $S^G$-模是 $S$ 的直和项，则 $S^G$ 是多项式环。 \item Hilbert 理想具有次数至多为 $|G |$ 的元素构成的生成集。该界由 Derksen 和 Kemper 猜想。\end{enumerate}