关于矢量值信号的谐波分析

N 维矢量值信号是指在任意时刻其取值为 N 维矢量（即 $\mathbb{R}^N$ 中的元素）的信号。本文证明，任意数量同频率此类信号的叠加在 N 维空间中描绘出一个椭圆，即被限制在一个平面内。椭圆的参数（由 N 维矢量表示的长轴和短轴，以及相位）可以根据组成信号的振荡方向及其相位代数地求得。研究表明，椭圆的长轴总是可以代数地确定。也就是说，总存在一个矢量，其值可以从组成信号的参数中代数地计算得出（无需进行大小比较或决策），该矢量即代表椭圆的长轴。本文讨论了这一结果对具有矢量值或矢量采样的信号处理及傅里叶分析的影响，特别是参考了包括 Clifford 代数在内的几种超复数代数中定义的傅里叶变换，尤其是离散傅里叶变换。然而，本文的处理完全基于取值于 $\mathbb{R}^N$ 的信号。尽管本文是用矢量信号（包括图像和体积图像）的术语撰写的，但该分析显然也适用于 N 维空间中简谐振动的叠加。