实向量的 $\epsilon$-算术及具实向量值系数的实向量值信号线性处理

本文针对任意固定维数的实向量引入一个新概念，即 $\epsilon$-算术。基本思想是使用有理值向量（称为有理向量）在 $\epsilon$ 范围内逼近同维实值向量。对于固定维数 $m$ 的有理向量，它们可构成一个域，该域为有理域 $\mathbf{Q}$ 的 $m$ 阶扩张 $\mathbf{Q}(\alpha)$，其中 $\alpha$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的极小多项式次数为 $m$。于是，实向量的加、减、乘、除等算术可通过其在 $\epsilon$ 范围内逼近的有理向量的算术来定义。我们还定义了实向量的复共轭，进而定义了两个实向量与两个有限长实向量序列（信号）的内积与卷积。借助这些新定义的实向量概念，可用实向量值系数对实向量值信号实现滤波、ARMA 建模与最小二乘拟合等线性处理，从而将现有对标量值信号的线性处理加以拓宽。