关于锥化空间与Cannon-Thurston映射的几何

本文处理的一个典型问题如下。设 $Z\subset Y\subset X$ 为双曲空间，其中 $Z$ 在 $Y$ 与 $X$ 中均拟凸。令 $\HAT{Y}$ 与 $\HAT{X}$ 分别表示由 Farb 定义的将 $Z$ 锥化后从 $Y$ 与 $X$ 得到的空间。{\em 若锥化空间的包含映射 $\HAT{Y}\map \HAT{X}$ 容许 Cannon-Thurston（CT）映射，则包含映射 $Y\map X$ 是否也容许 Cannon-Thurston 映射？} 本文主结果在 $\HAT{Y}\map \HAT{X}$ 满足 Mitra 的 CT 映射存在性判据时肯定回答此问题，尽管一般答案为否。我们定理的主要应用见于双曲群的非柱复形语境。A. Martin 证明了可展非柱双曲群复形的组合定理。设 $(\mathcal G, \YY)$ 为满足 Martin 定理假设的非柱双曲群复形，其万有覆叠为 $B$。设 $\YY_1\subset \YY$ 为连通子复形，使得子群复形 $(\mathcal G, \YY_1)$ 亦满足 Martin 定理假设，其万有覆叠为 $B_1$ 且自然同态 $\pi_1(\mathcal G, \YY_1)\map \pi_1(\mathcal G, \YY)$ 单射。由本文主定理推得：若包含 $B_1\rightarrow B$ 满足 Mitra 判据，则包含 $\pi_1(\mathcal G, \YY_1)\map \pi_1(\mathcal G, \YY)$ 容许 CT 映射。且若另设 $B_1$ 在 $B$ 中拟等距嵌入，则 $\pi_1(\mathcal G, \YY_1)$ 在 $\pi_1(\mathcal G, \YY)$ 中拟凸。