关于具有局部对称四次根度量的广义 Berwald 曲面

设 $m=2l$ 为正整数，$l=1, 2, \ldots.$ 若 Finsler 度量 $F$ 的 $m$ 次幂 $F^m$ 在切流形 $TM$ 上为 $C^{m}$ 类，则称其为 $m$ 次根度量。利用某些齐次性， $m$ 次根度量的局部表达式是变量 $y^1$, $\ldots$, $y^n$ 的 $m$ 次多项式，其中 $\dim M=n$。若每一点都有一个坐标邻域使得 $F^m$ 在切流形诱导坐标系的变量 $y^1$, $\ldots$, $y^n$ 中是 $m$ 次对称多项式，则称 $F$ 为局部对称的。利用对称多项式基本定理，减少依赖于位置的系数个数可使计算过程更为有效和简便。本文给出关于局部对称 $m$ 次根度量的一些一般性观察。特别地，我们关注具有局部对称四次根度量的广义 Berwald 曲面。主要结果（定理 1）是用线性代数基本概念给出的其内蕴刻画。我们还给出了一族单参数例子。最后一节包含某些三维计算，这些计算由 MAPLE 数学软件（LinearAlgebra）辅助完成。