关于图中半径函数的 $G^p$-单调性：结构与算法

对于图G中每个顶点的权重分配π，半径函数$r_π$映射图G的每个顶点到其到其他顶点的最大加权距离。中心问题要求找到一个中心，即最小化$r_π$的图的顶点。在本文中，我们研究图中半径函数的某些局部性质及其算法上的影响；我们的工作灵感来自欧几里得空间中每个半径函数$r_π$的每个局部最小值都是中心这一很好的性质。我们研究该性质在图上的离散类比，称为$G^p$-单调性：具体来说，位于其半径为$p$的球内的每个顶点最小化半径函数$r_π$，必须是中心顶点。虽然自1989年Dragan已知，具有$G$-单调半径函数$r_π$的图恰好是Helly图，但具有$G^2$-单调半径函数的图类至今尚未得到研究。在本文中，我们证明后者类远大于Helly图，因为它还包括（弱）桥接图、具有凸球的图以及二分图Helly图。最近，Ducoffe (2023)利用半径函数$r_π$的$G$-单调性，提出了一个针对Helly图上的中心问题的随机$\tilde{\mathcal{O}}(\sqrt{n}m)$-时间局部搜索算法。假设遵循Hitting Set猜想（Abboud等人，2016），我们证明类似结果不太可能适用于具有$G^2$-单调半径函数的图类。然而，我们设计了针对该图类的许多重要子类的中心问题的局部搜索算法（随机或确定性）。