关于Hida族中的Frobenius半单性

设 $p\geq 5$ 为素数，$\ell\neq p$ 为不整除 $p$-普通Hida族的驯顺水平的素数。我们证明，对几乎所有算术特殊化，附着其上的Galois表示的Frobenius元在 $\ell$ 处的作用是半单且非标量的。若 $k_f$ 表示尖形式 $f(z)= \sum_{n\geq 1} a_\ell(f) e^{2\pi i n z}$ 的权，则由Ramanujan猜想预测的等式 $$|a_\ell(f) | \leq 2 \ell^{(k_f-1)/2},$$ 对该族中几乎所有成员 $f$ 为严格不等式。