关于随机基本群的自由性

令 $Y(n, p)$ 表示 Linial--Meshulam 模型中随机 2-维单纯复形的概率空间，并令 $Y \sim Y(n, p)$ 表示依此分布选取的随机复形。在 Cohen、Costa、Farber 与 Kappeler 的一篇论文中，证明了对于 $p = o(1/n)$，以高概率 $\pi_1(Y)$ 是自由的。随后，Costa 与 Farber 的论文表明，对于满足 $3/n < p \ll n^{-46/47}$ 的 $p$ 值，以高概率 $\pi_1(Y)$ 不是自由的。在此我们改进了这两个结果，证明存在显式常数 $\gamma_2 < c_2 < 3$，使得对于 $p < \gamma_2/n$，以高概率 $Y$ 具有自由基本群；而对于 $p > c_2/n$，以高概率 $Y$ 的基本群要么不自由要么平凡。