关于对数向量场的 Fitting 理想与 Saito 判别法

$\mathbb{C}^n$ 中解析集芽 $(X,p)$ 关联着一个 $\mathscr{O}_{\mathbb{C}^n,p}$-模 $\mathrm{Der}(-\log X)$，即“对数向量场”，指切于 $X$ 光滑点的 ambient 全纯向量场芽。对于模 $L\subseteq \mathrm{Der}(-\log X)$，令 $I_k(L)$ 为由 $L$ 的生成元矩阵的 $k\times k$ 子式生成的理想；这些是 $\mathrm{Der}_{\mathbb{C}^n,p}/L$ 的 Fitting 理想。本文旨在：(i) 寻找 $\{I_k(L)\}$ 的充分条件以证明 $L=\mathrm{Der}(-\log X)$；(ii) 识别 $\{I_k(\mathrm{Der}(-\log X))\}$ 以提供相等性的必要条件；以及 (iii) 给出这些理想的几何解释。即使对于光滑的 $(X,p)$，示例表明仅凭 Fitting 理想不足以证明相等性，尽管我们给出了不同的判别法。利用光滑情形下的 (ii) 和 (iii)，我们对任意 $(X,p)$ 的 (ii) 和 (iii) 给出了部分解答。当 $(X,p)$ 为超曲面时，我们给出了 $L$ 的反射包等于 $\mathrm{Der}(-\log X)$ 的充分代数或几何条件；对于反射模 $L$，这回答了 (i) 并推广了 Saito 关于自由除子和 Brion 关于线性自由除子的判别法。