关于二部图中具有指定度因子的存在准则

我们建立了二部图具有满足指定度条件子图的新准则。我们证明：二部图 $G[X,Y]$ 存在生成子图 $F$，使得对 $x\in X$ 有 $g(x)\leq deg_F(x) \leq f(x)$，对 $y\in Y$ 有 $deg_F(y) \leq f(y)$，当且仅当对 $A\subseteq X, B\subseteq Y$ 有 $\sum\nolimits_{b\in B} f(b)\geq \sum\nolimits_{a\in A} \max \big\{0, g(a) - deg_{G-B}(a)\big\}$。利用 Folkman-Fulkerson 定理，Cymer 与 Kano 给出了此类子图存在的另一准则（Graphs Combin. 32 (2016), 2315--2322）。我们的证明是自包含的，并依赖于交错路技术。作为应用，我们证明 Hall 定理的如下推广：每个边重数至少为 $m$ 的二部图 $G[X,Y]$ 存在子图 $F$，使得对 $x\in X$ 有 $g(x)\leq deg_F(x)\leq f(x)\leq deg(x)$，对 $y\in Y$ 有 $deg_F(y)\leq m$，当且仅当对 $S\subseteq X$ 有 $\sum_{y\in N_G(S)}f(y)\geq \sum_{x\in S}g(x)$。