论离奇有理可积平面双闪镜 I：复杂几何与动力学类型

平面双闪镜是一条平面曲线 $\gamma$，配备一族关于 $\gamma$ 上各点 $P$ 的射影映像 $(\sigma_P)|_{P\in\gamma}$，这些映像是固定在 $P$ 处的射影直线 $L_P$ 的自同态映像。若存在称为第一积分的二变量有理函数 $R(x,y)$，其在每个切线直线 $L_P$ 上的限制为 $\sigma_P$ 不变，则称双闪镜称为有理可积。此前作者曾证明，有理可积双闪镜仅存在于在 $k$ 个点处去点（$0\leq k\leq 4$）的圆锥曲线上。其中给出的分类包括由圆锥笔联定义的二次积分标准例子，以及具有最小积分次数为任意大于二的偶数的离奇例子的无限系列。在本文中，我们研究德米特里·特雷谢夫（Dmitry Treschev）关于离奇例子中动力学与守恒律问题的提问。我们研究作用于二维相空间的动力学：由对偶 $(Q,P)$ 组成的复代数曲面，其中 $Q\in\mathbb{CP}^2\setminus\gamma$，$P\in\gamma$，且直线 $QP$ 在 $P$ 处切于 $\gamma$。我们证明，相空间由不变代数曲线纤维化，其中 $Q$ 位于积分函数的水平曲线上。在每个例子中，我们找到积分函数的典型水平曲线类型及其相应纤维的类型。我们证明，大多数例子中典型水平曲线为有理曲线，仅有两个例子为椭圆曲线。我们给出相空间上不变面积形式以及不变复微分形式的公式。由此得到椭圆水平曲线上复微分形式的公式。