关于第三 Painlev\'e' 超函数根的存在性与性质的研究

由于第三 Painlevé 超函数 (P_III 函数) 定义的微分方程在其解为零的相空间子集上揭示出不规则性，必须对其根的性质进行单独考虑。运用哈密顿正规化方法，可将所述的二阶微分方程（第三 Painlevé 方程）替换为两个独立的两维非线性一阶方程组，这些结构允许将其称为耦合 Riccati 方程。对于给定非零点的 P_III 函数消失的存在性随之而来，所有函数在该点处均为解析的。指数 $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{C}$（或 $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{R}$）可用于其索引。也自然地将三阶导数作为未知量而非原问题本身。将相应的微分方程转化为等价积分方程后，可获得一种高效算法，用于在 P_III 函数非零根的附近构建近似解的形式，即截断幂级数。给出一个应用示例，其数值验证以图形形式呈现。还给出适用于 P_III 函数对应奇点附近的近似。推导了关于 P_III 函数根与奇点之间的距离的下界，这些距离可以初等函数表示。