关于四面体的平衡点

多面体的单稳态性质（即仅有一个稳定或 unstable 静平衡点的性质）自 Conway 与 Guy \cite{Conway} 发表首个此类对象存在的证明以来一直是研究焦点。在同一文章中他们还证明了均匀四面体至少有两个稳定平衡点。借助极对偶，相同思想已被用于 \cite{balancing} 证明均匀四面体至少有两个不稳定平衡。Conway \cite{Dawson} 也曾断言在非均匀四面体中可找到单稳态者。此处我们不仅给出该论断的严格证明并表明单稳态四面体恰有 4 个平衡点，还揭示了该问题一个惊人的新方面：单稳态意味着形状的某些\emph{可见}特征，反之亦然。我们的结果也意味着单稳单态四面体（仅有一个稳定与一个不稳定平衡点）不存在。相反，我们表明对于任意其他合法的面的数量、棱的数量与顶点的数量，都存在具有该面向量的单稳单态多面体。