关于 Elliott 猜想及其应用

设 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{D}$ 为乘性函数。在仅有的必要假设——即 $f$ 是非伪饰的（按 Granville 与 Soundararajan 的意义）——下，我们证明对任意两个不同的整数平移 $h_1,h_2$，两点相关和 $$\frac{1}{x}\sum_{n\leq x}{f(n+h_1)\overline{f}(n+h_2)}$$ 在 $\mathbb{N}$ 中上对数密度为 $1$ 的 $x$ 集合上趋于 $0$。我们还证明，若 $k$ 为奇数且 $f$ 为实值非伪饰函数，则同样的结论对 $k$ 点相关和 $$\frac{1}{x}\sum_{n\leq x}{f(n+h_1)\cdots f(n+h_k)}$$ 也成立。此前，相关和的消失性仅在 Tao 以及 Tao 与第三作者的工作中，于 $f$ 的更强非伪饰假设下为人所知。我们导出若干应用，包括：(i) 对省略长度为四的符号模式的 $\pm 1$ 值完全乘性函数进行分类，解决了 R.H. Hudson 于 1974 年提出的一个猜想。(ii) 证明一类“类刘维尔”函数满足各阶无加权 Elliott 猜想，解决了 de la Rue 的一个问题。(iii) 构造满足给定（唯一）Furstenberg 系统的乘性函数 $f:\mathbb{N}\to \{-1,0,1\}$ 的例子，回答了 Lemańczyk 的一个问题。(iv) Tao 的 Erdős 差异定理的密度版本。