关于球的交集上到一点最大距离的高效近似

在本文中，我们研究在球的交集上最大化到给定点的距离这一 NP-Hard 问题。我们扩展了 \cite{funcos1} 中的结果，其中作者通过构造一些半空间的交集来表征球的交集 $\mathcal{Q}$ 中距离给定点 $C_0$ 最远的点。在本文中，通过对文献中的技术稍作修改，我们用另一个球的交集 $\mathcal{Q}_1$ 来表征球的交集 $\mathcal{Q}$ 中的最远点。因此，反向推导时，我们自然能够将给定的球的交集 $\mathcal{Q}$ 找作另一个球的交集 $\mathcal{Q}_{-1}$ 的最大指示交集。通过重复该过程，我们找到了一个球的交集序列 $(\mathcal{Q}_{i})_{i \in \mathbb{Z}}$，其中包含 $\mathcal{Q}$ 作为其元素，即 $\mathcal{Q}_{0}$，并证明了 $\mathcal{Q}_{-\infty} = \mathcal{B}(C_0,R_0)$，其中 $R_0$ 是从 $C_0$ 到 $\mathcal{Q}$ 中一点的最大距离。作为所提理论的最终应用，我们给出了一种在预言机返回球的交集体积的情况下计算最大距离的多项式算法，并证明该问题是 NP-Hard 的。最后，我们提出了一种随机方法，该方法允许对最大距离进行近似。