最大范围求和问题的一束结果：通用技术与困难性归约

我们重新审视最大范围求和（MaxRS）问题：给定 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个加权点的集合 $P$ 和一个范围 $Q$（通常是轴对齐的 $d$-盒或 $d$-球），目标是放置 $Q$ 以最大化 $P\cap Q$ 中点的总权重。我们研究了三种自然变体：（1）动态 MaxRS：目标是在点插入和删除的情况下更新 $d$-球的放置。我们给出了一个随机化的 $(\frac{1}{2}-\epsilon)$-近似，更新时间为 $O_\epsilon(\log n)$。该近似因子以高概率成立。据我们所知，这是动态 MaxRS 的首个结果。（2）批量 MaxRS：在 $\mathbb{R}^1$ 中，除了 $P$ 之外，我们还给定 $m$ 个长度各异的区间。我们证明了一个条件性下界 $\Omega(mn)$ 时间（通过推测的 $(\min,+)$-卷积困难性），表明 $\mathbb{R}^2$ 中平凡的 $O(mn\log n)$ 上界本质上是紧的。我们还为相关的批量最小 $k$-包围区间问题建立了类似的下界。（3）着色 MaxRS：每个点都有来自 $[m]$ 的颜色，目标是放置 $Q$ 以最大化 $P\cap Q$ 中唯一颜色点的数量。先前的工作只考虑了 $\mathbb{R}^2$ 中的轴对齐矩形。对于 $d$-球，我们给出：(a) 一个随机化的 $(\frac{1}{2}-\epsilon)$-近似，时间为 $O_\epsilon(n\log n)$（避免了指数依赖于 $d$），以及 (b) 在 $\mathbb{R}^2$ 中，一个 $(1-\epsilon)$-近似，期望时间为 $O_\epsilon(n\log n)$。两种近似都以高概率成立。我们的算法依赖于两种具有更广泛意义的技术。第一种通过 $d$-球的体积论证和随机化博弈产生 $(\frac{1}{2}-\epsilon)$-近似。第二种通过一个精确的输出敏感算法实现 $(1-\epsilon)$-近似，我们通过颜色随机采样对其进行了加速。