关于无洋葱星浸入的有向图

$t$-洋葱星是由一个有 $2t$ 个叶子的星形图通过将每条边替换为一个由三条弧组成的三元组而得到的有向图，其中在 $t$ 个三元组中，我们使两条弧的方向背离中心，而在剩下的 $t$ 个三元组中，我们使两条弧的方向指向中心。注意，$t$-洋葱星作为一个浸入，包含了每个顶点出度至多为 $2$ 且入度至多为 $1$（或反之）的所有 $t$ 个顶点的有向图。我们研究了排除一个固定洋葱星作为浸入的有向图的结构。主要发现是，在这样的有向图中，对于某些在无向设定下成立的对偶性陈述，我们可以证明它们的有向类似物。更具体地说，我们证明了以下两个陈述。存在一个函数 $f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 满足以下条件：如果一个有向图 $D$ 包含一个由 $2t+1$ 个顶点组成的集合 $X$，使得对于任意 $x,y\in X$，存在 $f(t)$ 条从 $x$ 到 $y$ 的弧不相交路径，那么 $D$ 包含 $t$-洋葱星作为一个浸入。存在一个函数 $g\colon \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 满足以下条件：如果 $x$ 和 $y$ 是有向图 $D$ 中的一对顶点，使得存在至少 $g(t,k)$ 条从 $x$ 到 $y$ 的弧不相交路径，并且存在至少 $g(t,k)$ 条从 $y$ 到 $x$ 的弧不相交路径，那么要么 $D$ 包含 $t$-洋葱星作为一个浸入，要么存在一个由 $2k$ 条两两弧不相交路径组成的族，其中 $k$ 条路径从 $x$ 到 $y$，$k$ 条路径从 $y$ 到 $x$。